Distribusi Peluang Teoritis
1. Pendahuluan
Titik-titik
contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.
.
Peubah Acak
Fungsi
yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga memiliki
nilai berupa bilangan nyata disebut :
PEUBAH ACAK = VARIABEL ACAK = RANDOM VARIABLE (beberapa buku juga menyebutnya
sebagai STOCHASTIC VARIABLE )
X dan x
Biasanya
PEUBAH ACAK dinotasikan sebagai X (X kapital)
Nilai
dalam X dinyatakan sebagai x (huruf kecil x).
Contoh
1 :
Pelemparan
sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali
S
: {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
dimana
G = GAMBAR dan A = ANGKA
X:
setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)
S
: {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
3 2 2
2 1 1 1 0
Perhatikan
bahwa X{0,1,2,3}
Nilai
x1= 0, x2= 1 x3= 2, x4= 3
Kategori Peubah Acak
Peubah
Acak dapat dikategorikan menjadi:
a.
Peubah Acak Diskrit :
nilainyaberupa
bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.
® untuk hal-hal yang dapat dicacah
Misal : Banyaknya Produk yang rusak = 12
buah
Banyak
pegawai yang di-PHK= 5 orang
b.
Peubah Acak Kontinyu:
nilainya
berupa selang bilangan, tidak dapat di hitung dan tidak terhingga
(memungkinkan
pernyataan dalam bilangan pecahan)
®
untuk hal-hal yang diukur
(jarak, waktu,
berat, volume)
Misalnya Jarak Pabrik ke Pasar = 35.57 km
Waktu
produksi per unit = 15.07 menit
Berat bersih produk = 209.69 gram
Volume
kemasan = 100.00 cc
Distribusi Peluang Teoritis
Tabel
atau Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut
peluangnya.
Berhubungan
dengan kategori peubah acak, maka dikenal :
a.
Distribusi Peluang Diskrit : Binomial,
Poisson
b. Distribusi Peluang Kontinyu
: Normal*) t, F, c²(chi kuadrat)
2. Distribusi
Peluang Diskrit
2.1 Distribusi Peluang
Binomial
Percobaan Binomial
Percobaan Binomial adalah
percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan diulang n kali
2. Hasil setiap ulangan hanya
dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas;
Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL"
("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED")
3. Peluang keberhasilan = p dan
dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah.
Peluang gagal = q = 1- p.
4. Setiap ulangan bersifat bebas
satu dengan yang lain.
Definisi
Distribusi Peluang Binomial
untuk x = 0,1,23,...,n
n:
banyaknya ulangan
x:
banyak keberhasilan dalam peubah acak X
p:
peluang berhasil pada setiap ulangan
q:
peluang gagal = 1 - p pada setiap
ulangan
Contoh 2 :
Tentukan
peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali
sebuah dadu setimbang!
Kejadian
sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"
x
= 3
n
= 5 pelemparan diulang 5 kali
p
=
q
= 1- = 
q
= 1- = 
= 
= 10 ´ 0.003215...= 0.03215...
= 10 ´ 0.003215...= 0.03215...
Contoh
4b:
Peluang
seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa,
berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?
Kejadian
yang ditanyakan ® Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS
Yang
diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60
p
= 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40 x
= 2, n = 5
b(x
= 2; n = 5, p = 0.40) = ....................
- Tabel
Peluang Binomial
Soal-soal
peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Distribusi
Peluang Binomial (Lihat hal 157-162,
Statistika 2)
Cara
membaca Tabel tersebut :
Misal
:
n x p = 0.10 p = 0.15 p = 0.20 dst
5 0 0.5905 0.4437 0.3277
1 0.3280 0.3915 0.4096
2 0.0729 0.1382 0.2048
3 0.0081 0.0244 0.0512
4 0.0004 0.0020 0.0064
5 0.0000 0.0001 0.0003
Perhatikan
Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena pembulatan, nilainya tidak persis =
1.0000 hanya mendekati 1.0000)
x
= 0 n = 5 p =
0.10 b(0;
5, 0.10) = 0.5905
x
=1 n = 5 p = 0.10 b(1;
5, 0.10) = 0.3280
Jika
0 x 2, n = 5 dan p = 0.10 maka b(x; n, p) =
b(0;
5, 0.10)+ b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0.10)
=
0.5905 + 0.3280 +0.0729 = 0.9914
Contoh
5
Suatu
perusahaan “pengiriman paket ” terikat perjanjian bahwa keterlambatan paket
akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi.
Jika
Peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0.20 Bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas
:
a.
Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya
kompensasi?
(x = 0)
b.
Lebih dari 2 paket terlambat? (x >2)
c.
Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x £
3)
d.
Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat?(2 £ x £
4)
e.
Paling tidak ada 2 paket yang terlambat?(x ³
2)
Jawab
a.
x = 0 ®
b(0; 5, 0.20) = 03277 (lihat di tabel atau dihitung dgn rumus)
b.
x > 2 ® Lihat tabel dan lakukan
penjumlahan sebagai berikut :
b(3; 5, 0.20) + b(4; 5, 0.20) + b(5; 5, 0.20) =
0.0512+ 0.0064 + 0.0003 = 0.0579
atau .....
® 1 - b(x £
2) = 1 - [b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) = 1 - [0.3277 +
0.4096 + 0.2048)= 1 - 0.9421 =
0.0579
Rata-rata
dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah
Rata-rata = np
Ragam s
² = npq
n
= ukuran populasi
p
= peluang keberhasilan setiap ulangan
q
= 1 - p = peluang gagal setiap ulangan
2.3 Distribusi Peluang Poisson
Percobaan
Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
1. Hasil
percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat
yang lain yang terpisah
2. Peluang
terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku
hanya untuk selang waktu yang singkat dan
luas daerah yang sempit
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil
percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan
luasan tempat yang sama diabaikan
Definisi Distribusi Peluang Poisson :
e : bilangan natural =
2.71828...
x : banyaknya unsur
BERHASIL dalam sampel
m
: rata-rata keberhasilan
Perhatikan
rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson hitung dari rata-rata
populasi (m)
Tabel Peluang Poisson
Seperti
halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan
Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164)
Cara
membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial
Misal:
x m = 4.5 m = 5.0
0 0.0111 0.0067
1 0.0500 0.0337
2 0.1125 0.0842
3 0.1687 0.1404
dst dst dst
15 0.0001 0.0002
poisson(2;
4.5) = 0.1125
poisson(x
< 3; 4.5) = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)
= 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736
poisson(x
> 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)
atau
= 1 - poisson(x £
2)
= 1 - [poisson(0;4.5) +
poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]
= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125
] = 1 - 0.1736 = 0.8264
Contoh
6 :
Rata-rata
seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia
membuat:
a.
tidak ada kesalahan?(x = 0)
b.
tidak lebih dari 3 kesalahan?( x £ 3)
c.
lebih dari 3 kesalahan?(x >3)
d.
paling tidak ada 3 kesalahan (x ³
3)
Jawab:
= 5
a.
x = 0 dengan rumus? hitung
poisson(0; 5)
atau
dengan Tabel Distribusi Poisson
di bawah x:0 dengan = 5.0 (0; 5.0) = 0.0067
b.
x 3 dengan Tabel Distribusi Poisson
hitung
poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) +
poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0) =
0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 =
0.2650
c.
x > 3 poisson( x 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +
poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)
atau
poisson(x >3) = 1 - poisson(x3)
= 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) +
poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)]
= 1 -
[0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]
= 1 -
0.2650
=
0.7350
Pendekatan
Poisson untuk Distribusi Binomial :
·
Pendekatan Peluang Poisson untuk
Peluang Binomial, dilakukan jika n besar
(n > 20) dan p sangat kecil (p < 0.01) dengan terlebih dahulu
menetapkan p dan kemudian
menetapkan m
= n x p
Contoh
7
Dari
1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap
hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih
dari 3 orang yang terlambat?
Kejadian
Sukses : selalu terlambat masuk kuliah
p
= = 0.002 n
= 5 000 x > 3
= 0.002 n
= 5 000 x > 3
jika
diselesaikan dengan peluang Binomial ® b(x > 3; 5 000, 0.002)
tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus
sangat tidak praktis.
p =
0.002 n
= 5 000 x>3
m = n ´
p = 0.002 ´ 5 000 = 10
diselesaikan
dengan peluang Poisson ® poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x £
3)
= 1 - [poisson (0;10) +
poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)
= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972
