Distribusi Peluang
Peluang diperlukan untuk mengetahui ukuran atau derajad
ketidakpastian suatu peristiwa. Di dalam statistik, peluang dipakai antara lain
terkait dengan cara pengambilan sampel dari suatu populasi.
Mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu,
membaca temperatur dengan termometer tiap hari, menghitung barang rusak yang
dihasilkan tiap hari, mencatat banyak kendaraan yang melalui pertigaan jalan tertentu
setiap jam, dan masih banyak contoh yang lain, merupakan eksperimen yang dapat
diulangi. Semua hasil yang mungkin terjadi bisa dicatat. Segala bagian yang
mungkin didapat dari hasil ini dinamakan peristiwa.
Contoh:
Eksperimen mencatat banyak kendaraan yang melalui sebuah
tikungan X setiap jam. Hasilnya bisa didapat 0, 1, 2, 3, … buah kendaraan
setiap jam yang melalui tikungan X.
Beberapa peristiwa yang didapat misalnya: tidak ada
kendaraan selama satu jam, lebih dari tiga kendaraan selama satu jam, ada 6
kendaraan dalam satu jam, dsb.
Simbol untuk menyetakan peristiwa misalnya dengan huruf
besar A, B, C, ….baik disertai indeks atu tidak. Misal: A berarti tidak ada
kendaraan yang melalui tikungan dalam satu jam. B berarti ada 10 kendaraan yang
melalui tikungan dalam satu jam, dsb.
Definisi:
Dua peristiwa atau lebih dinamakan saling ekslusif jika terjadinya peristiwa
yang satu mencegah terjadinya yang lain.
Contoh:
1. 
Jika
E menyatakan suatu peristiwa terjadi, maka E digunakan untuk menyatakan
peristiwa itu tidak terjadi. Peristiwa-peristiwa E dan E jelas saling
eksklusif.
Jika
E menyatakan suatu peristiwa terjadi, maka E digunakan untuk menyatakan
peristiwa itu tidak terjadi. Peristiwa-peristiwa E dan E jelas saling
eksklusif.
2. 
Jika E
menyatakan barang yang dihasilkan rusak, maka E digunakan untuk menyatakan
barang yang dihasilkan tidak rusak. Dua peristiwa E dan
E jelas saling eksklusif.
Jika E
menyatakan barang yang dihasilkan rusak, maka E digunakan untuk menyatakan
barang yang dihasilkan tidak rusak. Dua peristiwa E dan
E jelas saling eksklusif.
3. Jika
muka G dan muka H digunakan untuk menyatakan dua sisi dari mata uang logam yang
homogin, maka bila dilakukan pengundian dengan mata uang logam tersebut muka antara
muka G dan muka H tidak akan pernah muncul secara bersamaan. Muka G dan muka H
merupakan dua peristiwa yang saling ekslusif.
4. Sebuah
dadu dengan muka 6 memiliki muka satu (1 titik), muka dua (2 titik), muka tiga,
…, muka enam. Bila dilakukan pengundian dengan dadu akan tampak hanya ada satu
muka yang menghadap ke atas. Dalam hal ini akan didapat enam peristiwa yang
saling eksklusif.
Definisi:
Jika peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali di antara N peristiwa yang
saling eksklusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka
peluang peristiwa E terjadi adalah n/N dan dinyatakan dengan P(E) = n/N.
Contoh:
1. Pengundian
dengan mata uang logam yang homogen dengan muka G dan muka H untuk menyatakan
kedua sisinya. Jika E = muka G di atas, maka P(E) = P(muka G di atas) = ½ dan
P(E) = P(H) = ½
2. Pengundian dengan sebuah dadu yang homogen menghasilkan 6
peristiwa. Untuk E = muka 4 di atas, maka P(E) = P(muka 4 di atas) = 1/6.
Dengan cara yang sama dapat diperoleh untuk P(E) = P(muka 1 di atas) = 1/6,
P(E) = P(muka 2 di atas) = 1/6, P(E) = P(muka
di atas) = 1/6.
3. Sebuah kotak berisi 20 kelereng yang identik kecuali
warnanya. Di dalam kotak tersebut terdapat 5 kelereng warna merah, 12 warna
kuning, dan sisanya warna hijau. Jika kelereng dalam kotak di aduk-aduk dan
diambil secara acak dengan mata tertutup (setelah diambil dikembalikan lagi), maka
peluang
mengambil kelereng berwarna merah P(Merah) = 5/20 = ¼, peluang
mengambil kelereng berwarna kuning P(Kuning) = 12/20 = 3/5, dan peluang
mengambil kelereng berwarna hijau P(Hijau) = 3/20.
Berdasar
rumus peluang dan beberapa contoh tersebut di atas, dapat dikatakan bahwa P(E)=
0 bila n = 0 dan P(E) = 1 bila n = N. Secara matematika dituliskan 0 ≤ P(E) ≤1. Jika E menyatakan bukan
peristiwa E, maka berarti jika P(E) = n/N maka P(E) = 1 – P(E). Hal itu berarti
P(E) + P(E) = 1.
Contoh:
1. 
Jika
peluang muncul muka 6 pada pengundian dengan dadu adalah P(E) = P(6) = 1/6 maka
peluang muncul bukan muka 6 adalah P(E) = P(bukan muka enam) = 1 – 1/6 = 5/6.
Jika
peluang muncul muka 6 pada pengundian dengan dadu adalah P(E) = P(6) = 1/6 maka
peluang muncul bukan muka 6 adalah P(E) = P(bukan muka enam) = 1 – 1/6 = 5/6.
2. Jika peluang mendapat hadiah adalah P(Hadiah) = 0,61,
maka peluang tidak mendapat hadiah adalah P(Tidak dapat hadiah) = 1- 0,61 =
0,39.
Peristiwa-peristiwa yang saling eksklusif dihubungkan
dengan kata ATAU . Untuk itu berlaku aturan: Jika k buah peristiwa E1, E2, E3,
…, Ek, saling eksklusif, maka peluang untuk terjadinya E1 atau E2, atau … atau
Ek sama dengan jumlah peluang tiap peristiwa. P(E1 atau E2 atau … atau Ek) =
P(E1 + E2 + E3 + … + Ek).
Contoh:
1.
Sebuah
kotak berisi 10 kelereng merah, 18 kelereng hijau, dan 22 kelereng kuning.
Kecuali warna, lain-lainnya identik. Bila semua kelereng dimasukkan ke dalam
kotak dan diaduk-aduk, maka berapakah peluang warna merah atau hijau yang
terambil dari kotak jika kelereng diambil secara acak dengan mata tertutup?
Jawab:
Misal A = mengambil warna merah
B = mengambil warna kuning
C = mengambil warna hijau
P(A) = 10/(10+18+22) = 0,2
P(B) = 18/(10+18+22) = 0,36
P(C) = 22/(10+18+22) = 0,44
Ketiga peristiwa di atas adalah saling eksklusif,
sehingga berlaku:
P(A atau C) = P(A) + P(C) = 0,2
+ 0,44 = 0,64
Hal itu berarti jika pengambilan
kelereng dilakukan dalam jangka waktu lama, maka 64 dari setiap 100 kali
mengambil akan terambil kelereng warna merah atau kuning.
2.
Ada
200 lembar undian berhadiah, dan di dalamnya terdapat sebuah hadiah pertama, 5
hadiah kedua, 10 hadiah ketiga, dan sisanya tak berhadiah. Berapakah peluang
seseorang akan mendapatkan hadiah pertama atau kedua?
Jawab:
Misal A = mengambil lembar undian hadiah pertama
B = mengambil lembar
undian hadiah kedua
C = mengambil lembar
undian hadiah ketiga
D = mengambil lembar undian tanpa hadiah
P(A) = 1/(1+5+10+184) = 0,005
P(B) = 5/(1+5+10+184) = 0,025
P(C) = 10/(1+5+10+184) = 0,05
P(D) = 184/(1+5+10+184) = 0,92
Keempat peristiwa di atas adalah saling eksklusif,
sehingga berlaku:
P(A atau B) = P(A) + P(B) =
0,005 + 0,025 = 0,03
Hal itu berarti jika pengambilan
kertas undian dilakukan terus-menerus, maka 3 dari setiap 100 kali mengambil
akan terambil lembar undian hadiah pertama atau hadiah kedua.
Hubungan kedua yang terdapat
antara peristiwa adalah hubungan bersyarat. Dua peristiwa dikatakan mempunyai
hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi syarat terjadinya peristiwa
yang lain. Peristiwa tersebut ditulis dengan A|B untuk menyatakan peristiwa A
terjadi dengan didahului terjadinya peristiwa B. Peluangnya ditulis P(A|B) yang
disebut peluang bersyarat. Jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa B
tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa A, maka A dan B disebut peristiwa
peristiwa bebas atau independent. Untuk menyatakan kedua peristiwa terjadi maka
ditulis A dan B atau P(A dan B) = P(A) .
P(B)
Contoh:
1. Jika dilakukan undian dengan sebuah mata uang sebanyak
dua kali. Bila peristiwa A adalah tampak muka dan peristiwa B juga tampak muka,
maka peristiwa A dan B adalah independent. Peluang peristiwa A dan peluang
peristiwa B adalah P(A dan B) = P(A) . P(B) = ½ . ½ = ¼
2. A menyatakan si Y akan hidup dalam tempo 80 tahun, B
menyatakan si Z akan hidup dalam tempo juga 80 tahun. Jika diberikan P(A) =
0,65 dan P(B) = 0,52 Berapakah peluang si Y dan si Z dua-duanya akan hidup
dalam tempo 80 tahun?
P(A dan B) = P(A) . P(B) = 0,65 . 0,52 = 0,338
3. Sebuah kotak berisi 10 kelereng merah, 18 kelereng
hijau, dan 22 kelereng kuning. Kecuali warna, lain-lainnya identik, dan di
dalam kotak kelereng diaduk-aduk. Dari dalam kotak diambil kelereng dua kali,
tiap kali sebuah kelereng. Kelereng yang telah diambil pertama tidak dimasukkan
kembali ke dalam kotak. Berapakah
peluang kelereng warna hijau bila kelereng pada pengambilan pertama berwarna
merah?
Jawab:
Misal E = kelereng yang diambil pertama berwarna merah,
dan F = kelereng yang diambil kedua kali berwarna hijau. Peristiwa-peristiwa E
dan F tidak independent. P(E) = 0,2 merupakan peluang kelereng warna merah pada
pengambilan pertama, dan P(F|E) = peluang kelereng pada pengambilan kedua
berwarna hijau bila pada pengambilan kelereng pertama berwarna merah.
P(F|E) = 18/(9+18+22) = 18/49
P(E dan F) = P(E) . P(F|E) = 0,2
x 18/49 = 0,073
Merupakan peluang kelereng warna
hijau pada pengambilan kedua setelah kelereng warna merah pada pengambilan
pertama.
Hubungan yang ketiga adalah
hubungan inklusif, yaitu atau A atau B atau kedua-duanya terjadi, P(A+B) = P(A)
+ P(B) – P(A dan B). Contoh: Tumpukan
kartu bridge ada 52 kartu terdiri dari 4 kartu hati, keriting, wajik, dan skop.
Tiap macam terdiri dari 13 kartu yang bernomor dari 2, 3, ..., 10, J, Q, K, dan
AS. Peluang menarik kartu hati, keriting, wajik, dan skop masing-masing 0,25.
Misalkan E = menarik kartu AS dari tumpukan dan F = menarik kartu hati. Dalam
hal ini E dan F dua peristiwa yang tidak eksklusif karena kita dapat menarik
selembar kartu As dari kelompok kartu hati. Peluang menarik kartu AS atau
sebuah hati adalah:
P(E+F) = P(E) + P(F) – P(E dan F)
= 4/52 + 13/52 – 1/52
= 16/52 = 4/13
Probabilitas Diskrit
Variabel yang
biasanya hanya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat. Misal hasil pelemparan
mata uang logam, apakah hasilnya muka satu atau dua. Contoh lain jumlah
penduduk, jumlah mesin, jumlah kepala keluarga, dll.
Contoh
probabilitas diskrit:
Jika sebuah mata
uang dilemparkan sebanyak 3 kali, akan menghasilkan 8 kemungkinan keluaran,
yaitu: MMM MMB MBM
MBB BMM BMB
BBM BBB
|
Tampak M/B
X
|
Frekuensi Tampak M/B
|
Prob relatif
f(X)
|
Prob kum
F(X)
|
|
0
|
1
|
1/8
|
1/8
|
|
1
|
3
|
3/8
|
4/8
|
|
2
|
3
|
3/8
|
7/8
|
|
3
|
1
|
1/8
|
8/8
|
|
Jumlah
|
8
|
8/8
|
|
8/8
7/8
3/8 4/8
1/8 1/8 |
 |
0
1 2 3 0 1
2 3
Probabilitas Kontinue
Variabel yang
biasanya hanya dapat dinyatakan dengan bilangan yang berada di suatu interval,
misal: berat badan, lama bekerja dalam jam, dll. Jika X suatu variabel random
kontinue, maka variabel X itu berada dalam suatu nilai: -~ < X < +~ sehingga akan mempunyai
probabilitas antara a dan b yakni P(a ≤ X ≤ b).
 |
- ~ + ~
X
Permutasi
Jumlah
alternatif susunan objek dalam suatu himpunan.
Kombinasi
Dalam kombinasi
yang diperhatikan bukan urutan n tetapi kombinasi dari n tsb.
